题目

如图所示的几何体中， 为直三棱柱，四边形 为平行四边形， ， . （1） 若 ，求证： 平面 ； （2） 若 ， ，二面角 的正切值为2，求三棱锥 的体积. 答案： 证明：若 AA1=AC ，则四边形 ACC1A1 为正方形，则 AC1⊥A1C ∵ AD=2CD ， ∠ADC=60° ， △ACD 为直角三角形，则 AC⊥CD . ∵ AA1⊥ 平面 ABC ，∴ AA1⊥CD ，又 AA1∩AC=A ， ∴ CD⊥ 平面 ACC1A1 ，又 AC1⊂ 平面 ACC1A1 ，则 CD⊥AC1 ， ∵ A1C∩CD=C ，∴ AC1⊥ 平面 A1B1CD ； 由题意： ABC-A1B1C1 为直三棱柱，故 CC1⊥ 平面 ABCD . 又由（1）的证明可知 AC⊥CD ，所以建立如图所示空间直角坐标系 C−xyz ， ∴ C1(0，0，23λ) ， D(2，0，0) ， A(0，23，0) ， AD→=(2，−23，0) ， AC1→=(0，−23，23λ) ， 设平面 AC1D 的法向量为 n1→=(x，y，z) ，则有 {2x−23y=0−23y+23λz=0 ， 令 y=1 ，解得 x=3 ， z=1λ ，所以 n1→=(3，1，1λ) ， 易知平面 C1CD 的一个法向量为 n2→=(0，1，0) ， 设 θ 为二面角 A−C1D−C 的平面角，则 tanθ=2 ，可得 |cosθ|=55 . |cosθ|=|n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→||=13+1+(1λ)2=55 ，得 λ=±1 ，又 λ>0 ，∴ λ=1 . 所以 A1A=AC ，此时 CD=2 ， AA1=AC=23 . ∴ VC1−A1CD=VD−A1CC1=13×(12×23×23)×2=4 . 故三棱锥 C1−A1CD 的体积为4.

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