题目

如图所示，四边形 是菱形， 平面 ， 平面 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求证：平面 平面 ； （3） 若 ， ，求点 到平面 的距离. 答案： 证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD ， 因为 DE⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ，所以 AC⊥DE ， 因为 BD∩DE=D ， BD⊂ 平面 BDE ， DE⊂ 平面 BDE ， 所以 AC⊥ 平面 BDE 证明：因为 DE⊥ 平面 ABCD ， AF⊥ 平面 ABCD ，所以 DE//AF ， 因为 DE⊂ 平面 CDE ， AF⊄ 平面 CDE ，所以 AF// 平面 CDE ； 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AB//CD ， 因为 CD⊂ 平面 CDE ， AB⊄ 平面 CDE ，所以 AB// 平面 CDE ； 因为 AB∩AF=A ， AB⊂ 平面 ABF ， AF⊂ 平面 ABF ， 所以平面 ABF// 平面 CDE . 解：因为 CD=BC ， ∠BCD=π3 ，所以 △BCD 为等边三角形， 因为 DB=2 ，所以 △BCD 的面积为 S△BCD=34×4=3 ， 因为 DE⊥ 平面 ABCD ， 所以三棱锥 E−BCD 的体积为 VE−BCD=13DE⋅S△BCD=13×2×3=233 ， 因为 DE⊥ 平面 ABCD ， BD⊂ 平面 BCD ， CD⊂ 平面 BCD ， 所以 DE⊥BD ， DE⊥CD ， 因为 DE=BD=CD=2 ，所以 BE=CE=22 ， 所以 △BCE 的面积为 S△BCE=12×2×(22)2−1=7 ， 设点 D 到平面 BCE 的距离为 d ， 所以 VE−BCD=VD−BCE=13d⋅S△BCE=73d=233 ， 所以 d=2217 ，所以点 D 到平面 BCE 的距离为 2217 .

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