题目

已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ． （1） 如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝ 时，求⊙O的半径； （2） 在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积 （3） 如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由． 答案： 解：连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°， ∴ ∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝90°， ∴ AB是⊙O的直径， ∴ AB＝ AP2+BP2 ＝ 12+(22)2 ＝3， ∴ ⊙O的半径为 32 解：连接AQ，BQ ∵∠APB＝90° ∴∠AQB＝180°-∠APB=90° ∵∠APQ＝∠BPQ＝45° ∴∠ABQ＝∠BAQ＝45° ∴△ABQ是等腰直角三角形 ∵AB＝3   ∴AQ＝BQ＝ 22AB=22×3=322 ∴ S四边形APBQ=SΔABP+SΔABQ=12×1×22+12×322×322=2+94 解：AB∥ON，理由如下：连接OQ， ∵∠APQ＝∠BPQ，∴ AQ⌢ ＝ BQ⌢ ， ∴ OQ⊥AB ∵ OP＝OQ， ∴ ∠OPN＝∠OQP， ∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°， ∴ 2∠OPN+∠PON+∠NOQ＝180°， ∵ ∠NOP+2∠OPN＝90°， ∴ ∠NOQ＝90°， ∴  NO⊥OQ ∴AB∥ON

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