题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10). (I)求抛物线的解析式及它的对称轴； (Ⅱ)点 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 ，且 ,求n的值； (Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：解：（Ⅰ）∵抛物线经过原点O， ∴抛物线解析式为 y=16x2+bx . ∵抛物线与x轴交于点(5，0)， ∴ 0=256+5b ，解得 b=−56 . ∴抛物线解析式为 y=16x2−56x . x=−b2a=−562×16=52 ， ∴抛物线的对称轴为直线 x=52 . （Ⅱ）∵点C在抛物线 y=16x2−56x 上， ∴ 4=16m2−56m ，解得 m1=−3 (舍)， m2=8 . ∴点C坐标为(8，4). 过C作 CE⊥x 轴，垂足为E，连接AB. 在 RtΔAEC 中， AC2=CE2+AE2=32+42=25 . 同理，可求得 BC2=100 ， AB2=125 . ∴ AC2+BC2=AB2 . ∴ ∠BCA=90∘ . 在 RtΔAOP 和 RtΔACQ 中， OA=AC ， PA=QA ， ∴ RtΔAOP≌RtΔACQ . ∴ OP=CQ . ∵ OP=2BQ ， ∴ BQ=12n ， CQ=10−12n . ∴ n=10−12n ， 解得 n=203 . （Ⅲ）∵抛物线的对称轴为 x=52 ， ∴设点M的坐标为 (52，t) . ①当 AB=AM ， ∠BAM 为顶角时， 52+102=(5−52)2+t2 ，解得 t=±5192 . ②当 BM=BA ， ∠MBA 为顶角时， 52+102=(52)2+(t−10)2 ，解得 t=20±5192 . ③当 MA=MB ， ∠BMA 为顶角时， (5−52)2+t2=(52)2+(t−10)2 ，解得 t=5 . 此时点 (52，5) 为AB的中点，与点A，B不构成三角形. 综上可得，点M的坐标为 (52,5192) ， (52,−5192) ， (52,20+5192) ， (52,20−5192) .

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