题目

如图①，在等腰△ABC中，CA＝CB＝10，AB=12.求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上. 小明的做法：如图②，在边AC上取一点D，过点D作DGAB交BC于点G；以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E； 在EB上截取EF=ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形. ①                                        ② 请你在（1）、（2）中任选一问进行解答，（3）为必答题. （1） 证明小明所作的四边形DEFG是菱形； （2） 当四边形DEFG是正方形时，求DG和CD的长； （3） 小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围. 答案： 证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形. 解：作CH⊥AB， 交AB于H， 交DG于K 又∵CA=CB ∴H是AB中点 可得CH=8 设正方形边长为x ∵DG∥EF ∴△CDG～△CAB ∵CK⊥DG， CH⊥AB ∴DGAB=CKCH=CDCA 得DG=245，CD=4 当0≤CD＜4或5011< CD≤10 时，菱形个数为0，当CD=4时，菱形个数为1，当4<CD<5011 时，菱形个数为2.

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