题目

已知在数列 中， ， . （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ，求 的前 项和 . 答案： 解： ∵an=an−1+2n−1(n≥2) ， ∴an−an−1=2n−1 ， a2−a1=21 ， a3−a2=22，​⋮ a4−a3=23 ， an−an−1=2n−1 左右两边同时相加得， an−a1=21+22+23+⋅⋅⋅+2n-1 = 2n−2 ， ∴an=2n−2+a1=2n+1 ， 当 a1=3 时也符合上式， 所以 an=2n+1 解：由 bn=log2(an+1−1) 得 bn=log2(2n+1−1)=n 所以 1bnbn+1=1n(n+1)=1n−1n+1 ， Tn = 1−12+12−13+13−14+⋅⋅⋅+1n−1n+1   = 1−1n+1=nn+1

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