题目

定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1） 如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数． （2） 在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．①求BD的长．②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是． （3） 在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由． 答案： 解：∵四边形ABCD是圆美四边形，∴ ∠A=12∠C ，∠A+∠C=180°∴∠A=60°. 【1】解：连结OB，OD，作OE⊥BD于点E，∴∠BOD=2∠A=120°，∵OB=OD，∴∠BOE= 12 ∠BOD=60°，∴∠OBE=30°，∴OE= 12 OB= 52∴ BE = 3 OE = 523 ，∴ BD =2BE = 53【2】10 解：延长BC，AD交于点E∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠BAD=∠DCE=60°，∵AC为⊙O的直径，∴∠B=∠ADC=90°=∠CDE，∴∠E=30°，在Rt△CDE和Rt△ABE中CE=2CD，BE= 3 AB=BC+CE∴BC+2CD= 3 AB.

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