题目

已知函数 （1） 当 时，求 在 处的切线方程； （2） 若 ，求实数 取值的集合； （3） 当 时，对任意 ，令 ，证明： . 答案： 解：当 a=1 时， f(x)=x−1−lnx ， f′(x)=1−1x ， ∴ f(1)=0，f′(1)=0 ， ∴ f(x) 在 (1，f(1)) 处的切线方程为 y=0 解： f(x)≥0⇔f(x)min≥0 f′(x)=a−1x=ax−1x(x>0) 当 a≤0 时， f′(x)<0 恒成立，因此 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递减， 注意到 f(2)=a−ln2<0 ，不符合题意； 当 a>0 时，令 f′(x)<0∴0<x<1a ；令 f′(x)>0∴x>1a 因此 f(x) 在 (0，1a) 上单调递减，在 (1a，+∞) 上单调递增. 所以 f(x) 的最小值为 f(1a)=1−a+lna≥0 令 g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−xx 令 g′(x)<0∴x>1 ；令 g′(x)>0∴0<x<1 所以 g(x) 在(0，1)单调递增， (1，+∞) 单调递减 所以 g(x) 在 (0，+∞) 有最大值 g(1)=0 ， ∴ g(x)=lnx−x+1≤0 ，∴ 1−a+lna≤0 ∴ 1−a+lna=0 综上，当 f(x)≥0 时，实数 a 取值的集合为 {1} . 解：当 a=0 时， f(x)=−lnx ，则 1x3=lnx2−lnx1x2−x1=lnx2x1x2−x1 由（2）知， lnx≤x−1 ，当且仅当 x=1 时取等      ① ∵x2x1>1∴lnx2x1<x2x1−1=x2−x1x1 ∴1x3<1x1        由①式： ln1x≤1x−1 ，即 lnx≥1−1x ，当且仅当 x=1 时取等 可得当 x>1 时 lnx>1−1x ∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴lnx2x1>1−x1x2=x2−x1x2，∴1x3>1x2 综上： x1<x3<x2

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