题目

如图1，在 和 中，顶点 是它们的公共顶点， ， ． （1） （特例感悟）当顶点 与顶点 重合时（如图1）， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求证：四边形 是菱形； （2） （探索论证）如图2，当 时，四边形 是什么特殊四边形？试证明你的结论； （3） （拓展应用）试探究：当 等于多少度时，以点 为顶点的四边形是矩形？请给予证明． 答案： 解： ∵BG//DE ， DM//BC ， ∴ 四边形 BMDN 是平行四边形， 在 ΔABM 和 ΔDGM 中， {∠A=∠G，∠AMB=∠GMD，AB=DG， ∴ΔABM≅ΔGDM ， ∴BM=DM ， ∴ 四边形 BMDN 是菱形． 解：当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形． 证法一：如图，连接 OB 交 CG 于 K ，在 BK 上取一点 M ，使得 BM=GM ， ∵∠ABG=∠GBC=30° ， BG=BC ， ∴∠BGC=∠BCG=75° ， ∵∠BGF=∠BCD=120° ， ∴∠OGC=∠OCG=45° ， ∴OG=OC ， FG⊥CD . ∵BG=BC ， BO=BO ， GO=CO ， ∴ΔBOG≅ΔBOC ， ∴∠OBG=∠OBC=15° ， ∵BM=MG ， ∴∠MBG=∠NGB=15° ， ∴∠GMK=30° ， 设 GK=x ，则 BM=MG=2x ， MK=3x ， 在Rt△BGK中， (23+2)2=x2+(3x+2x)2 ，解得 x=2 ， ∵BG=BC ， OG=OC ， ∴OB⊥CG ， ∴GK=KC=2 ， ∴OC=OG=2=12CD=12GF ， ∴CD=FG ， OG=OF=OD=OC ， ∴ 四边形 DGCF 是平行四边形， ∵GF=CD ， ∴ 四边形 DGCF 是矩形， ∵GF⊥CD ， ∴ 四边形 DGCF 是正方形． 证法二：如图 ∵ BG=BC ， ∠GBC=30° ， ∴∠BGC=∠BCG=75° . 又 ∵∠BGF=∠BCD=120° ， ∴∠OGC=∠OCG=120°-75°=45° ， ∴OG=OC ， ∠GOC=90° . 过点G作GH⊥BC于H， 在Rt△BHG中， ∵ ∠GBC=30° ， ∴GH= 12 BG＝ 3 ＋1，BH＝ 3 GH＝3＋ 3 ， ∴HC=BC﹣BH=2 3 +2-（3＋ 3 ）= 3 -1， ∴GC= GH2+HC2=(3+1)2+(3−1)2=22 ， ∴OG=OC= CG2 = 222 =2， ∴OD=OF=4-2=2， ∴OD=OC=OG=OF， ∴ 四边形 DGCF 是矩形， ∵GF=CD， ∴ 四边形 DGCF 是正方形． 解：当∠GBC=120°时，以点 C ， G ， D ， F 为顶点的四边形CGFD是矩形. 当∠GBC=120°时，点E与点A重合. ∵BG=BC ， ∴ ∠BGC=∠BCG=30° ， ∴∠GCD=120°−30°=90° . ∵四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形， ∴ AB//CD ， AB//FG ，AB=CD，AB=GF， ∴ FG//CD ，CD=GF， ∴ 四边形 DCGF 是平行四边形. ∵ ∠GCD=90° ， ∴ 四边形 DCGF 是矩形．

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