题目

已知函数 . （1） 若函数 在 处有极值 ，求 的值； （2） 若对于任意的 在 上单调递增，求 的最小值. 答案： 解：由 f′(x)=3x2+2ax+b  ，于是，根据题意设有 {f′(1)=3+2a+bf(1)=1+a+b+a2=10  ，解得 {a=4b=−11   或 {a=−3b=3  ，当 {a=4b=−11  时，所以函数 f′(x)=3x2+8x−11,Δ=64+132>0 ，所以函数有极值点；当 {a=−3b=3  时，所以函数 f′(x)=3(x−1)2≥0 ，所以无极值点，所以 b=−11 解：由题意知 f′(x)=3x2+2ax+b≥0 对任意的 a∈[−4,+∞),x∈[0,2] 都成立，所以 F(a)=2xa+3x2+b≥0 对任意的 a∈[−4,+∞),x∈[0,2] 都成立，因为 x≥0 ，所以 F(a) 在 a∈[−4,+∞) 上为单调增函数或为常数函数，①当 F(a) 为常数函数时， F(a)=b≥0 ；②当 F(a) 为增函数时， F(a)min=F(−4)=−8x+3x2+b≥0 ，即 b≥(−3x2+8x)min 对任意 x∈[0,2] 都成立，又 −3x2+8x=−3(x−43)2+163≤163 ，所以 x=43 时， (−3x2+8x)max=163 ，所以 b≥163 ，所以 b 的最小值为 163

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