题目

已知函数 有两个零点 ， ，且 ． （1） 求证： ； （2） 求证： ． 答案： 证明：易知 f′(x)=ex−a ， 当 a≤0 时， f′(x)>0 在 R 上恒成立，函数 f(x) 递增，不符合题意 当 a>0 时，令 f′(x)>0 ，得 x>lna ， f′(x)<0 ，得 x<lna ， ∴f(x) 在 (−∞，lna) 上递减，在 (lna，+∞) 上递增； 所以 f(x) 有极小值 f(lna) 由题意可知，只需 f(lna)<0 即可，即有： a−alna<0 ，解得： a>e ． 证明：令 f(x)=0 ， ∴ex1=ax1 ， ex2=ax2 ， ∵a>e ， ∴ 可知 x2>x1>0 则 x1=lna+lnx1 ， x2=lna+lnx2 ∴x2−x1=lnx2x1 ， 设 t=x2x1 （ t>1 ）， ∴{x2=tx1x2−x1=lnt⇒x1=lntt−1 ， x2=tlntt−1 ∴x1+x2=(t+1)lntt−1 （ t>1 ），要证 x1+x2>2 ，只需证 (t+1)lntt−1>2 设 φ(t)=lnt−2(t−1)t+1 ，只证 φ(t)>0 即可 φ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0 ， ∴φ(t) 在 (1，+∞) 上递增 ∵t>1 ， φ(t)>φ(1)=0 ，满足题意， ∴ 不等式成立．

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