题目

如图 1，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC.（∠ABD 的度数大于 90° 小于 120°） （1） 求证：∠BED = 90°； （2） 若点 F 为射线 BE 上一点，∠EDF = α，∠ABF 的角平分线 BG 与∠CDF 的角平分线DG 交于点 G，试用含α的式子表示∠BGD 的大小； （3） 延长BE交CD于点H，点F为线段 BH 上一动点，∠ABF 邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线 DG 交于点 G，探究∠BGD 与∠BFD 之间的数量关系，请直接写出结论：.（题中所有的角都是大于 0°小于 180°的角） 答案： 证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∵BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC， ∴ ∠EBD=12∠ABD，∠EDB=12∠BDC ， ∴ ∠EBD+∠EDB=12(∠ABD+∠BDC)=90° ， ∴∠BED = 90°； 解：当点G在AB、CD之间时，如图2，∵ ∠EBD+∠EDB=90° ， ∠ABD+∠BDC=180°， ∴∠ABE+∠EDC=90°，即∠ABE+α+∠FDC=90°， ∵BG 平分∠ABE，DG 平分∠CDF， ∴∠ABE=2∠1，∠CDF=2∠CDG， ∴2∠1+2∠CDG=90°－α， 过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD， ∴∠1=∠2，∠HGD=∠CDG， ∴∠BGD=∠2+∠HGD=∠1+∠CDG= 90°−α2 ； 当点G在AB、CD下方时，如图3， 同理可得：∠ABE+∠EDC=90°，即∠ABE+α－∠FDC=90°， ∵BG 平分∠ABE，DG 平分∠CDF， ∴∠ABE=2∠1，∠CDF=2∠CDG， ∴2∠1－2∠CDG=90°－α， 过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD， ∴∠1=∠2，∠HGD=∠CDG， ∴∠BGD=∠2－∠HGD=∠1－∠CDG= 90°−α2 ； 综上，∠BGD= 90°−α2 ； 【1】∠BFD+2∠BGD=360º

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