题目

在四边形中，. （1） 若 ， ， ， 求四边形面积的最小值； （2） 若四边形的外接圆半径为 ， ， 求的最大值. 答案： 解：延长AD，BC相较于点E，如图所示：∵∠ABC=∠DAB=π3，AB=2，∴△EAB是边长为2的正三角形，∴△EAB的面积为34×22=3.在△ECD中，∠CED=π3，CD=1，由余弦定理得，CD2=CE2+DE2−2CE⋅DE⋅cos∠CDE，即1=CE2+DE2−CE⋅DE≥2CE⋅DE−CE⋅DE=CE⋅DE，则1≥CE⋅DE，（当且仅当CE=DE=1时，等号成立）∵△ECD的面积S=12CE⋅DE⋅sin∠CED≤34，∴△ECD的面积的最大值为34，∴四边形ABCD面积的最小值为3−34=334 解：∵四边形ABCD存在外接圆，∴∠DAB+∠DCB=π，∵∠ABC=∠DAB，∴∠ABC+∠DCB=π.∴AB//CD，∴四边形ABCD为等腰梯形.连接AC，设∠ABC=θ，∠BAC=x，0<x<θ，如图所示：∵△ABC的外接圆半径为1，∴在△ABC中，由正弦定理得，ABsin(π−x−θ)=BCsinx=2，∴AB=2sin(x+θ)，BC=2sinx.同理可得，在△ACD中，由正弦定理可得，CDsin(θ−x)=2，CD=2sin(θ−x)，∴p=AB⋅BC⋅CD⋅DA=16sin2x⋅sin(θ+x)⋅sin(θ−x)=16sin2x⋅(sinθcosx+cosθsinx)⋅(sinθcosx−cosθsinx)=16sin2x⋅(sin2θcos2x−cos2θsin2x)=16sin2x⋅[sin2θ(1−sin2x)−cos2θsin2x]=16sin2x⋅(sin2θ−sin2x)设sin2x=t，得p=16t(sin2θ−t)，∵0<x<θ≤π3，∴0<t≤sin2θ，∴p=16t(sin2θ−t)≤16[t+(sin2θ−t)2]2=4sin4θ，（当且仅当t=12sin2θ时，等号成立）∵θ∈(0，π3]，∴sin2θ≤34，（当且仅当θ=π3时，等号成立） ∴当θ=π3，sinx=64时，p取得最大值4×(32)4=94

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