题目

如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P为线段AB上的一动点（不与点B重合），连接PC、BC，将△BPC沿直线BC翻折得到△BP'C，P'C交抛物线于另一点Q，连接QB． （1） 求抛物线的解析式； （2） 求四边形QCOB面积的最大值： （3） 当OQ：QP'=1：2时，求点Q的坐标． 答案： 物线的解析式为y=12x2−x−4 解：过点Q作QT⊥x轴交于点T，y=12x2−x−4中，令x=0.得y=-4，∵C（0，-4），设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0)，∵B（4，0），C（0，-4），∴{4k+n=0n=−4，解得{k=1n=−4∴直线BC的解析式为y=x−4∵P’C交抛物线于另一点Q∴设Q(t，12t2−t−4)，则T(t，t−4)∴QT=t−4−(12t2−t−4)=−12t2+2t∴S四边形QCOB=S△OBC+S△QBC=12×4×4+12(−12t2+2t)=−t2+4t+8=−(t−2)2+12∵-1<0，∴S四边形QCOB有最大值，且当t=2时，∴S四边形QCOB的最大值=12 解：过点Q作QE⊥y轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点f，∵OB=OC=4，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．由翻折，得∠CBP′＝∠OCB＝45°，∴∠OBP′＝90°．∵∠BOC＝∠OFP′＝90°，∴四边形BOFP′是矩形，∴FP′＝OB＝4．∵∠CEQ＝∠CFP′＝90°，∴EQ∥FP′，∴EQFP=CQCP'，∵CQ∶QP′＝1：2，∴CQ∶CP′＝1：3，∴EQ∶FP′＝1：3，即EQ＝13FP'=13×4=43．当x＝43时，y=12x2−x−4=12×(43)2−43−4=−409∴Q(43，−409)

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