题目

综合与实践：如图1， ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．点D是AB的中点，点E是CB上一点（不与点B，C重合），连接DE，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，其中∠EDF＝90°，DE＝DF．连接BF．（1）求证：BF＝CE，BF⊥CE．（2）如图2，若点E在CB的延长线上，其他条件不变，BF与CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；（3）如图3在（2）的基础上，当FB平分∠DFE时，若BE＝3，则EC＝．（直接写出答案）答案：证明：连接CD， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点， ∴CD⊥AB，∠DCE＝ 12 ∠ACB＝45°， ∠A＝∠CBA＝45°，CD＝ 12 AB＝DB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠CDB＝∠EDF， ∴∠CDE=∠CDB－∠BDE＝∠EDF－∠BDE=∠BDF，即∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中， {CD=DB∠CDE=∠BDFDE=DF ， ∴△CDE≌△BDF（SAS）， ∴BF＝CE，∠DBF＝∠DCE＝45°， ∴∠CBF＝∠DBF＋∠CBA＝90°， ∴BF⊥CE；解：BF＝CE，BF⊥CE．理由如下：连接CD， ∵∠C＝90°，CA＝CB，D是AB的中点， ∴CD⊥AB，∠DCE＝ 12 ∠C＝45°， ∠A＝∠CBA＝45°，CD＝ 12 AB＝DB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠CDB+∠BDE=∠BDE+∠CDF， ∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中， {CD=DB∠CDE=∠BDFDE=DF ， ∴△CDE≌△BDF（SAS）， ∴BF＝CE，∠DBF＝∠DCE＝45°， ∴∠CBF＝∠DBF＋∠CBA＝90°， ∴BF⊥CE；【1】32 +3

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