题目

如图，在三棱锥 中， 底面ABC， ，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1 （I）求证： ； （II）求PM与平面AHB所成的角的正弦值； （III）设点N在线段PB上，且 ，MN//平面ABC，试写出实数 的值（不必证明）。 答案：解：以 CA⇀,CB⇀,Cz⇀ 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 故 A(2,0,0),B(0,1,0),P(2,0,2) , H(1,0,1),M(32,0,12) ， AB⇀=(−2,1,0),AH⇀=(−1,0,1),PM⇀=(−12,0,−32) , BC⇀=(0,−1,0) ， n⇀=(1,2,1) . （I）由于 AH⇀⋅BC⇀=(−1,0,1)⋅(0,−1,0)=0 ，故 AH⊥BC . （II）由于 {n⇀⋅AB⇀=0n⇀⋅AH⇀=0  ，故 n→ 是平面 AHB 的法向量， 设直线 PM 和平面 AHB 所成的角为 θ ， 则 sinθ=|cosn⇀,PM⇀|=|n⇀⋅PM⇀|n⇀|⋅|PM⇀||=26⋅102=21515 . （III）设 D 是 HC 的中点，连接 MD ，过 D 作 DN//BC 交 PB 于 N ，连接 MN .由于 M 是 AH 中点, 故 MD//AC ，所以平面 MDN// 平面 ABC ， 故 MN// 平面 ABC .由于 |PD||PC|=34 , 故 λ=|PN||PB|=34 .

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