题目

已知O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数. （1） 设函数 ，试求 的相伴特征向量 ； （2） 记向量 的相伴函数为 ，求当 且 ， 的值； （3） 已知 ， ， 为 的相伴特征向量， ，请问在 的图象上是否存在一点P，使得 .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 答案： ∵g(x)=sin(x+5π6)−sin(3π2−x)=sinxcos5π6+cosxsin5π6+cosx ∴g(x)=−32sinx+32cosx ∴g(x) 的相伴特征向量 OM→=(−32，32) . 向量 ON→=(1，3) 的相伴函数为 f(x)=sinx+3cosx ， ∵f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)=85 ， ∴sin(x+π3)=45 . ∵x∈(−π3，π6) ， ∴x+π3∈(0，π2) ， ∴cos(x+π3)=35 . sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)−32cos(x+π3)=4−3310 . 由 OT→=(−3，1) 为 h(x)=msin(x−π6)=32msinx−12mcosx 的相伴特征向量知： m=−2 . 所以 φ(x)=h(x2−π3)=−2sin((x2−π3)−π6)=−2sin(x2−π2)=2cosx2 . 设 P(x，2cos12x) ， ∵A(−2，3)，B(2，6) ， ∴AP→=(x+2，2cos12x−3) ， BP→=(x−2，2cos12x−6) ， 又 ∵AP→⊥BP→ ， ∴AP→⋅BP→=0 ∴(x+2)(x−2)+(2cos12x−3)(2cos12x−6)=0 . x2−4+4cos212x−18cos12x+18=0 ， ∴(2cos12x−92)2=254−x2(*) ∵−2≤2cos12x≤2 ， ∴−132≤2cos12x−92≤−52 ， ∴254≤(2cos12x−92)2≤1694 . 又 ∵254−x2≤254 ， ∴ 当且仅当  x=0 时， (2cos12x−92)2 和 254−x2 同时等于 254 ，这时 (*) 式成立. ∴ 在 y=h(x) 图像上存在点 P(0，2) ，使得 AP→⊥BP→ .

查看本题答案和解析