题目

如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路． （1） 求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号） （2） 问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号） 答案： 【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×12=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×32=103（千米），在Rt△BCD中，BD=CD∠tanCBD=101=10（千米），∴AB=AD+DB=103+10=10（3+1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（3+1）（千米）； 【解答】在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=CD2+BD2=102（千米），∴AC+CB﹣AB=20+102﹣（103+10）=10（1+2﹣3）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+2﹣3）千米．

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