题目

已知 ． （1） 若关于 的方程 在 上恒成立，求 的值； （2） 证明：当 时， ． 答案： 解：令 F(x)=f(x)−x+1=mxlnx−x+1,x∈(0,+∞) ，若 m<0,f(2)=2mln2−1<0 ，与已知矛盾，若 m=0 ，则 f(x)=−x+1 ，显然不满足在 (0,+∞) 上 F(x)≥0 恒成立，若 m>0 ，对 f(x) 求导可得 F′(x)=mlnx+m−1 ，由 F′(x)>0 解得 x>e1−mm ，由 F′(x)<0 解得 0<x<e1−mm ，∴ F(x) 在 (0,e1−mm) 上单调递减，在 (e1−mm,+∞) 上单调递增，∴ F(x)min=F(e1−mm)=1−me1−mm ， ∴要使 f(x)≥x−1 恒成立，则须使 1−me1−mm≥0 成立，即 e1−mm≤1m 恒成立，两边取对数得， 1−mm≤ln1m ，整理得 lnm+1m−1≤0 ，即须此式成立，令 g(m)=lnm+1m−1 ，则 g′(m)=m−1m2 ，显然当 0<m<1 时， g′(m)<0 ，当 m>1 时， g′(m)>0 ，于是函数 g(m) 的 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 单调递增，∴ g(m)min=g(1)=0 ，即当且仅当 m=1 时， F(x)min=F(1)=0,F(x)≥x−1 恒成立，∴ m=1 满足条件，综上所述， m=1 解：由（1）知 x>1 时， xlnx>x+1 ，即 lnx>x−1x 恒成立，令 x=n2+1n2(n∈N*) ，即 lnn2+1n2>1−n2n2+1=1n2+1 ，即 1n2+1<ln(n2+1)−lnn2 ，同理， 1n2+2<ln(n2+2)−ln(n2+1) ，1n2+3<ln(n2+3)−ln(n2+2),⋯14n2−1<ln(4n2−1)−ln(4n2−2) ，14n2<ln(4n2)−ln(4n2−1) ，将上式左右相加得： 1n2+1+1n2+2+1n2+3⋯+14n2<ln(4n2)−lnn2=ln4n2n2=ln4=2ln2 ，即 e1n2+1+1n2+2+1n2+3⋯+14n2<4 ，即 e1n2+1·e1n2+2·e1n2+3⋯·e14n2<4

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