题目

已知数列{an}满足： （1） 求a2 ， a3； （2） 猜想{an}通项公式并加以证明． 答案： 解：数列{an}满足： a1=12，a1+a2+⋯+an=n2an(n∈N∗) ， ∴n=2时， 12+a2 =22a2，可得a2= 16 ，∴n=3时， 12+16 +a3=9a3，解得a3= 112 解：猜想an= 1n(n+1) ． 证明：∵ a1=12，a1+a2+⋯+an=n2an(n∈N∗) ，∴n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=（n﹣1）2an﹣1．∴n2an﹣（n﹣1）2an﹣1=an．化为： anan−1=n−1n+1 ．∴an= anan−1 • an−1an−2 •… a3a2 ⋅a2a1 •a1= n−1n+1 • n−2n • n−3n−1 •…× 24 × 13 × 12 = 1n(n+1)

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