题目

已知的最小值为m．（1）求m；（2）若a、b都为正实数，且，证明：．答案：解：由已知得：当x<−3时，f(x)=−(2x−2)−(x+3)=−3x−1；当−3≤x≤1时，f(x)=−(2x−2)+(x+3)=−x+5；当x>1时，f(x)=2x−2+x+3=3x+1；故f(x)={−3x−1，x<−3−x+5，−3≤x≤13x+1，x>1．∵f(x)在(−∞，1]上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，∴f(x)min=f(1)=4．∴m=4．解：∵a>0，b>0，a+b=4，∴a+b=4≥2ab，即ab≤4，当且仅当a=b=2时取等.∴a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2=(a+b)3−3ab(a+b)=43−12ab≥64−48=16．∴a3+b3≥16．

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