题目

称正整数集合 具有性质p：如果对任意的 、 ， 与 两数中至少有一个属于A. （1） 分别判断集合 与 是否具有性质p； （2） 设正整数集合 具有性质p，证明：对任意 （ ）， 都是 的因数； （3） 求 时 的最大值 答案： 解：根据定义如果对任意的 i 、 j (1≤i≤j≤n) , aiaj 与 aiaj 两数中至少有一个属于A. 可知对于集合 {1,3,6} , 3×6 与 63 都不属于 {1,3,6} 所以集合 {1,3,6} 不具有性质 P . 对于集合 {1,3,4,12} , 1×3,1×4,1×12,3×4 或 123,124 都属于 {1,3,4,12} 所以集合 {1,3,4,12} 具有性质p. 证明: 正整数集合 A={a1,a2,⋅⋅⋅,an} (1≤a1<a2⋅⋅⋅<an,n≥2) 具有性质p 即对于任意 i 、 j (1≤i≤j≤n) aiaj 与 aiaj 两数中至少有一个属于A. 假设存在一个数 ai 不是 an 的因数 即有 aian 或 aian或anai 都不属于A.这与性质P矛盾 所以假设不成立 则对任意 1≤i≤n （ i∈N* ）, ai 都是 an 的因数成立 得证. 解：由（2）可知, ai 都是 an=30 的因数 而 30=2×3×5 则30的因数分别为 1,2,3,5,6,10,15,30 因而n的最大值为8

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