题目

已知函数 ， 满足关系 . （1） 设 ，求 的解析式： （2） 当 时，存在 ，对任意 ， 恒成立，求 的最小值. 答案： 解：当 f(x)=cosx+sinx ，可得 g(x)=(cosx+sinx)[cos(x+π2)+sin(x+π2)] =(cosx+sinx)(cosx−sinx)=cos2x−sin2x=cos2x . 因此，函数 y=g(x) 的解析式为 g(x)=cos2x 解： f(x)=|sinx|+cosx 时，可得 g(x)=(|sinx|+cosx)(|cosx|−sinx)={cos2x，2kπ<x≤π2+2kπ−sin2x−1，π2+2kπ<x≤π+2kπ−cos2x，π+2kπ<x≤3π2+2kπ1−sin2x，3π2+2kπ<x≤2π+2kπ ， k∈Z ∵存在 x1 、 x2∈R ，对任意 x∈R ， g(x1)≤g(x)≤g(x2) 恒成立， 当 x1=2kπ+π 或 2kπ+π2 时，可得 g(x)≥−1 ； 当 x2=2kπ+7π4 时，可得 g(x)≤2 . 那么： |x1−x2|=|2kπ+π−(2kπ+7π4)|=3π4 ， 或者： |x1−x2|=|2kπ+π2−(2kπ+7π4)|=5π4 ， 因此， |x1−x2| 的最小值为 3π4

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