题目

△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P ， 线段EF与射线CA相交于点Q ．      （1） 如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2） 如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ； （3） 在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC的长为． 答案： 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BPE和△CQE中， ∵ {BE=CE∠B=∠CBP=CQ ， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； 解：如下图，连接PQ， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ； 【1】62

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