题目

某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB 和CD所在圆心都是点O， 请同学们解决以下两个问题∶ （1） 若OC=2m，AC=3m， =120°时，求花坛的周长和面积（结果保留π） （2） 阅读材料∶两个数的平方的差可以表示为这两个数的和与这两个数的差的积。 即∶ ，例如75²-25²=（75+25）（75-25）=100×50=5000； 在求解面积时，有位同学发现扇形面积公式∶S扇= ，类似于三角形面积公式； 于是他突发奇想，类比梯形面积公式，得到花坛面积∶S = ，此时d=AC，结合阅读材料和扇形面积推导过程思考他的猜想正确吗?如果正确，请写出推导过程； 如果不正确，请说明理由。 答案： 解： 周长： [π×（2+3）×2+π×2×2]×120°360°+3+3 =（10π+4π）×13+6 =（143π+6）（m） 面积：2+3=5（m） π×（52-22）×13 =π×21×13 =7π（m2） 答：花坛的周长是（143π+6），面积是7πm2。 解：猜想正确。推导过程： 假设大扇形半径是R，小扇形半径是r，圆心角角度为n， 则由l=nπR180，得：R=180l1nπ，r=180l2nπ， 则图中扇形面积为： 12l1×R-12l2×r=12×l1×180l1nπ-12×l2×180l2nπ=90nπ（l12-l22）=90nπ（l1+l2）（l1-l2） =12×180nπ（nπ180R-nπ180r）（l1+l2）=12（l1+l2）（R-r）=12（l1+l2）d，所以猜想正确。

查看本题答案和解析