题目

如图，已知射线AM∥BN ， 连接AB ， 点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN ， 分别交射线AM于点C ， D ． （1） 当∠A＝60°时，求∠CBD的度数． （2） 点P在射线AM上运动，若∠A＝α， ①问∠CBD与α之间有何数量关系？请说明理由． ②当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出∠ABC与α之间的数量关系． 答案： 解：∵BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP， ∴∠ABP+∠PBN=2∠CBP+2∠DBP=2（∠CBP+∠DBP）=2∠CBD. ∴∠ABN=2∠CBD； ∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A=180°， ∴∠ABN=180°-60°=120°， ∴∠CBD=120°÷2=60°. 解：①∵BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP， ∴∠ABP+∠PBN=2∠CBP+2∠DBP=2（∠CBP+∠DBP）=2∠CBD. ∴∠ABN=2∠CBD； ∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A=180°， ∴∠ABN=180°-α， ∴∠CBD=180°-α2. ②∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， ∵∠ACB＝∠ABD， ∴∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， ∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠ABC＝14∠ABN， ∵AM∥BN， ∴∠A＋∠ABN＝180°， 即∠ABN＝180°−∠A＝180°−α， ∴∠ABC＝14（180°−α）＝45°−14α.

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