题目

已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点． （1） 当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由； （2） 在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长； （3） 在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由． 答案： 【1】解：等边三角形 解：如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF= 22−12 = 3 ，在Rt△ABF中，BF= AB2−AF2 = 6 ，∴BD=CE=BF﹣DF= 6 ﹣1，∴FH= 12 EC= 6−12 ． 解：（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF= 12 BD，∴△GFH的周长=3GF= 32 BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为 32 （a+b），最小值为 32 （a﹣b）

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