题目

如图， 内接于圆O，AB为直径， CD AB与点D，E为圆外一点，EO AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC． （1） 求证：EC是圆O的切线； （2） 当 时，连接CF， ①求证：AC=CF； ②若AD=1，求线段FG的长． 答案： 证明：连接OC∵EO⊥AB∴∠BOG=90°∴∠B+∠BGO=90°∵EG=EC，OC=OB∴∠B=∠OCB，∠ECG=∠EGC=∠BGO  ∴∠OCB+∠ECG=90°∴OC⊥EC，OC是半径∴EC是圆O的切线。 ①证明：∵AC⏜=AC⏜，∠ABC=22.5° ∴∠AOC=2∠B=2×22.5°=45°∴∠COF=90°-45°=45°∴∠AOC=∠FOC∴AC⏜=CF⏜∴AC=CF②∵CD⊥AB，∴∠CDO=90°∴∠AOC=45°∴△OCD是等腰直角三角形∴CD=OD设OA=x，则OD=CD=x-1，∴OC=CDsin∠COD=x-1sin45°=x-122      OC=2x-1∴2x-1=x解之：x=2+2∴OF=OC=2+2，OD=CD=2+2-1=1+2BD=OB+OD=2+2+1+2=3+22∵OG∥CD∴△BOG∽△BCD∴OGCD=OBBD即OG1+2=2+23+22解之：OG=2∴FG=OF-OG=2+2-2=2线段FG的长为2

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