题目

已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°． （1） 如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2） 如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3） 如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离． 答案： 解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中 ，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF． 解：证明：如图2中 ，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，{∠BAE=∠CAFBA=AC∠B=∠ACF ，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF． 解： 过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2 3 ，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2 3 ，∴EB=EG﹣BG=2 3 ﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2 3 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 3 ﹣2，∴FH=CF•cos30°=（2 3 ﹣2）• 32 =3﹣ 3 ．∴点F到BC的距离为3﹣ 3 ．

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