题目

杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当 时列车为满载状态，载客量为500人，当 时，载客量会减少，减少的人数与 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 ． （Ⅰ）求 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值． 答案：（Ⅰ）由题设，当 2≤t<10 时，令 p(t)=500−k(10−t)2 ，而发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴ p(2)=500−k(10−2)2=372 ，解得 k=2 . ∴ p(t)={300+40t−2t2，2≤t<10500，10≤t≤20 ，故 t=5 时有 p(5)=500−2×(10−5)2=450 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知： Q(t)={260−16t−256t，2≤t<101344t−60，10≤t≤20 ， ∵ 2≤t<10 时， Q(t)≤260−216t⋅256t=132 当且仅当 t=4 等号成立， ∴ 2≤t<10 上 Q(t)max=Q(4)=132 ， 而 10≤t≤20 上， Q(t) 单调递减，则 Q(t)max=Q(10)=74.4 ， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

查看本题答案和解析