题目

已知函数 . （Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 答案：解：（Ⅰ） f′(x)=34x2−2x+1 ，令 f′(x)=34x2−2x+1=1 得 x=0 或者 x=83 . 当 x=0 时， f(0)=0 ，此时切线方程为 y=x ，即 x−y=0 ； 当 x=83 时， f(83)=827 ，此时切线方程为 y=x−6427 ，即 27x−27y−64=0 ； 综上可得所求切线方程为 x−y=0 和 27x−27y−64=0 . （Ⅱ）设 g(x)=f(x)−x=14x3−x2 ， g′(x)=34x2−2x ，令 g′(x)=34x2−2x=0 得 x=0 或者 x=83 ，所以当 x∈[−2,0] 时， g′(x)≥0 ， g(x) 为增函数；当 x∈(0,83) 时， g′(x)<0 ， g(x) 为减函数；当 x∈[83,4] 时， g′(x)≥0 ， g(x) 为增函数； 而 g(0)=g(4)=0 ，所以 g(x)≤0 ，即 f(x)≤x ； 同理令 h(x)=f(x)−x+6=14x3−x2+6 ，可求其最小值为 h(−2)=0 ，所以 h(x)≥0 ，即 f(x)≥x−6 ，综上可得 x−6≤f(x)≤x . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 −6≤f(x)−x≤0 ， 所以 M(a) 是 |a|,|a+6| 中的较大者， 若 |a|≥|a+6| ，即 a≤−3 时， M(a)=|a|=−a≥3 ； 若 |a|<|a+6| ，即 a>−3 时， M(a)=|a+6|=a+6>3 ； 所以当 M(a) 最小时， M(a)=3 ，此时 a=−3 .

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