题目

设函数 的定义域为 ，若 满足条件：存在区间 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“不动函数”. （1） 求证：函数 是“不动函数”； （2） 若函数 是“不动函数”，求实数 的取值范围. 答案： 证明：存在区间 [a，b] 使得 f(x)=2x−1 在 [a，b] 上的值域为 [a，b] ， 又由于 f(x)=2x−1 在 R 是一个单调递増的函数， 故只需证存在实数 a ， b 满足 a<b ，且有 {f(a)=2a−1=af(b)=2b−1=b 观察得 f(1)=21−1=1 ， f(2)=22−1=2 ， 即存在 a=1 ， b=2 符合题意， 故函数 f(x)=2x−1 是“不动函数” 解：由题，定义域为 [−1，+∞) ，即存在实数 a ， b 满足 −1≤a<b ，使得 g(x) 在区间 [a，b] 上的值域为 [a，b] ， 由于 g(x)=x+1+k 在定义域 [−1，+∞) 上单调递増，从而有 {g(a)=a+1+k=ag(b)=b+1+k=b ， 该方程组等价于方程 g(x)=x+1+k=x 在 [−1，+∞) 有至少2个解， 即 k=x−x+1 在 [−1，+∞) 上至少有2个解， 即 y=k 和 y=x−x+1 的图像至少有2个交点， 记 t=x+1 ，则 t≥0 ，且 x=t2−1 ，从而有 k=t2−t−1 ， 记 h(t)=t2−t−1 ，配方得 h(t)=(t−12)2−54 ， 又 h(0)=−1 ，作出 h(t)=t2−t−1 的图像可知， k∈(−54，−1] 时有两个交点， 综上， k 的取值范围为 (−54，−1]

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