题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点． （1） 求证：PC∥平面BMN； （2） 求证：平面BMN⊥平面PAC． 答案： 证明：设AC∩BN=O，连结MO，AN， 因为 AB=12CD,AB∥CD ，N为CD的中点， 所以AB=CN，AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形， 所以O为AC的中点，所以MO∥PC． 又因为MO⊂平面BMN，PC⊄平面BMN，所以PC∥平面BMN 证明：（方法一）因为PC⊥平面PDA，AD⊂平面PDA 所以PC⊥AD，由（1）同理可得，四边形ABND为平行四边形， 所以AD∥BN，所以BN⊥PC 因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC， 因为PC∩AC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BN⊥平面PAC 因为BN⊂平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC． （方法二）连结PN，因为PC⊥平面PDA，PA⊂平面PDA，所以PC⊥PA 因为PC∥MO，所以PA⊥MO，因为PC⊥平面PDA，PD⊂平面PDA，所以PC⊥PD 因为N为CD的中点，所以 PN=12CD ，由（1） AN=BC=12CD ，所以AN=PN 又因为M为PA的中点，所以PA⊥MN 因为MN∩MO=M，MN⊂平面BMN，MO⊂平面BMN 所以PA⊥平面BMN，因为PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN．

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