题目

已知函数 ． （1） 判断函数 在区间 上的零点个数； （2） 若函数 在 处的切线平行于直线 ． 且在 上存在一点 ，使得 成立，求实数m． 答案： 解：令 f(x)=lnx+ax=0 ， x∈[e−2，+∞) 得 −a=xlnx 记 H(x)=xlnx ， x∈[e−2，+∞) ， H'(x)=1+lnx ，由此可知 H(x) 在 [e−2，e−1] 上递减，在 (e−1，+∞) 上递增， 且 H(e−2)=−2e−2 ， H(e−1)=−e−1 ， x→+∞ 时 H(x)→+∞ 故 a>1e 时， f(x) 在 [e−2，+∞) 无零点 a=1e 或 a<2e2 时， f(x) 在 [e−2，+∞) 恰有一个零点 2e2≤a<1e 时， f(x) 在 [e−2，+∞) 有两个零点． 解： f(x) 的定义域为 (0，+∞) ， ∵ f'(x)=1x−ax2 ，函数 f(x) 在 x=1 处的切线平行于直线 2x−y=0 ． ∴ f'(1)=1−a=2 ， ∴ a=−1 ． 若在 [1，e](e=2.71828⋯) 上存在一点 x0 ，使得 x0+1x0<mf(x0) 成立，构造函数 h(x)=x+1x−mf(x) =x+1x−mlnx+mx 在 [1，e] 上的最小值小于零． h'(x)=1−1x2−mx−mx2=x2−mx−m−1x2=(x+1)(x−m−1)x2 ①当 m+1≥e 时，即 m≥e−1 时， h(x) 在 [1，e] 上单调递减，所以 h(x) 的最小值为 h(e) ，由 h(e)=e+ 1+me−m<0 可得 m>e2+1e−1 ， ∴ e2+1e−1>e−1 ， ∴ m>e2+1e−1 ； ②当 m+1≤1 时，即 m≤0 时， h(x) 在 [1，e] 上单调递增，所以 h(x) 的最小值为 h(1) ，由 h(1)=1+1+ m<0 可得 m<−2 ； ③当 1<m+1<e 时，即 0<m<e−1 时，可得 h(x) 的最小值为 h(1+m) ， ∵ 0<ln(1+m)<1 ， ∴ 0<mln(1+m)<m ， h(1+m)=2+m−mln(1+m)<2 ， 此时， h(1+m)<0 不成立． 综上所述：可得所求m的范围是 m>e2+1e−1 或 m<−2 ．

查看本题答案和解析