题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=4，OC=3，且顶点A、C均在坐标轴上，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动；点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC交BO于点P，连接MP． （1） 直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）； （2） 设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；若存在最大值，求出S的最大值； （3） 在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 答案： （1）解：∵矩形OABC中，OA=4，OC=3， ∴B点坐标为（4，3）． 如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x． ∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA， ∴ PGAB=OGOA ，即 PG3 = x4 ， 解得：PG= 34 x，∴点P的坐标为（x， 34 x）； 解：∵在△OMP中，OM=4﹣x，OM边上的高为 34 x， ∴S= 12 （4﹣x）• 34 x=﹣ 38 x2+ 32 x， ∴S与x之间的函数表达式为S=﹣ 38 x2+ 32 x（0＜x＜4）． 配方，得S=﹣ 38 （x﹣2）2+ 32 ， ∴当x=2时，S有最大值，最大值为 32 ； 解：存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形． 理由如下：①如备用图1，过点P作PG⊥AO于点G，若PO=PM，则OG=GM=CN=x， 即3x=4，解得：x= 43 ； ②如备用图2，过点P作PG⊥AO于点G，若OP=OM，CN=x，则OP= OM= 4﹣x， 由勾股定理，得OB= OC2+BC2 = 32+42 =5， ∵NP∥OC，∴ OPOB=CNCB ，即 OP5=x4 ， ∴OP= 54 x，即 54 x=4﹣x， 解得：x= 169 ； ③如备用图3，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q， 若OM=PM时，则PM=OM=4﹣x，OQ=CN=x，则MQ=x-(4-x)=2x﹣4， 在Rt△MPQ中，PQ2+QM2=MP2，即（ 34 x）2+（2x﹣4）2=（4﹣x）2， 解得：x= 12857 ， 综上所述，当x的值为 43 秒或 169 秒或 12857 秒时，△OMP是等腰三角形．

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