题目

知 =（2λsinx，sinx+cosx）， =（ cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）= • 的最大值为2． （1） 求函数f（x）的单调递减区间； （2） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA= ，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围． 答案： 解：函数 f(x)=a→⋅b→=23λsinxcosx+λ(sinx+cosx)(sinx−cosx) = 3 λsin2x﹣λcos2x =2λ（ 32 sin2x﹣ 12 cos2x）=2λsin（2x﹣ π6 ），因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则 f(x)=2sin(2x−π6) ．由 2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2 ，可得： 2kπ+2π3≤2x≤2kπ+5π3 ， kπ+π3≤x≤kπ+5π6 ，所以函数f（x）的单调减区间为 [kπ+π3，kπ+5π6] ，k∈Z． 解：由 cosA=2b−a2c=b2+c2−a22bc ．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2， 即b2+a2﹣c2=ab，解得 cosC=12 ，即 C=π3 ．因为 0<A<2π3 ，∴ −π6<2A−π6<7π6 ， −12<sin(2A−π6)≤1 ．因为 f(A)−m=2sin(2A−π6)−m>0 恒成立，则 2sin(2A−π6)>m 恒成立，即m≤﹣1．

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