题目

一玻璃立方体中心有一点状光源．今在立方体的部分表面镀上不透明薄膜，以致从光源发出的光线只经过一次折射不能透出立方体．已知该玻璃的折射率为 ，求镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值． 答案：解：通过光线在镀膜部分发生全反射，根据临界情况，通过几何关系求出镀膜面积与立方体表面积之比的最小值． 如图，考虑从玻璃立方体中心O点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃立方体上表面发生折，根据折射定律有： nsinθ=sinα ，式中，n是玻璃的折射率，入射角等于 θ ， α 是折射角，现假设A点是上表面面积最小的不透明薄膜边缘上的一点．由题意，在A点刚好发生全反射，故 αA=π2 ．设线段OA在立方体上表面的投影长为R，由几何关系有 sinθA=RARA2+(a2)2 ．式中a为玻璃立方体的边长，联立解得 RA=a2n2−1 ．则 RA=a2 ，由题意，上表面所镀的面积最小的不透明薄膜应是半径为RA的圆．所求的镀膜面积S'与玻璃立方体的表面积S之比为 s′s=6πRA26a2=π4

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