题目

已知函数 ，且 . （1） 试求 的值； （2） 用定义证明函数 在 上单调递增； （3） 设关于 的方程 的两根为 ，试问是否存在实数 ，使得不等式 对任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在说明理由. 答案： 解：∵ f(1)=3∴ a=1∴ f(x)=2x2+1x 解：∵ a=1∴ f(x)=2x2+1x设 22≤x1<x2 ，∴ f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+x1−x2x1x2=(x2−x1)(2−1x1x2) ，∵ x2>x1≥22∴ x1x2≥x12≥12∴ 0<1x1x2<2∴ 2−1x1x2>0又∵ x2−x1>0 ，∴ f(x2)−f(x1)>0∴ f(x2)>f(x1)∴ f(x) 在 [22,+∞) 上单调递增 解：∵ f(x)=x+b∴ x2−bx+1=0∴ |x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=b2−4又∵ 2≤b≤13∴ 0≤|x1−x2|≤3 ，故只需当 m∈[12,2] ，使得 2m2−t⋅m+4≥3 恒成立，即 2m2−t⋅m+1≥0 在 m∈[12,2] 恒成立，也即 2m2+1m≥t 在 m∈[12,2] 恒成立，∴令 f(m)=2m2+1m ， m∈[12,2]由第（2）问可知 f(m)=2m2+1m 在 [22,2] 上单调递增，同理可得 f(m)=2m2+1m 在 m∈[12,22] 上单调递减.∴ [f(m)]min=f(22)=22∴ t≤22故 t 的取值集合是 {t|t≤22} .

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