题目

如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN． （1） 发现：在图1中， =； （2） 应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出 的值； （3） 拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出 的值． 答案： 【1】32 解：如图2中，连接AM、AN．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，∴AM⊥BC，AN⊥DE，∴ AMAB =sin60°， ANAD =sin60°，∴ AMAB = ANAD ，∵∠MAB=∠DAN=30°，∴∠BAD=∠MAN，∴△BAD∽△MAN，∴ MNBD = AMAB =sin60°= 32 解：如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，∴AM⊥BC，AN⊥DE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠ABC=∠ADE，∴sin∠ABM=sin∠ADN，∴ AMAB = ANAD ，∵∠BAM= 12 BAC，∠DAN= 12 ∠DAE，∴∠BAM=∠DAN，∴∠BAD=∠MAN．∴△BAD∽△MAN，∴ MNBD = AMAB =sin∠ABC，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵BD⊥CE，∴∠BHC=90°，∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，∴∠ABD+∠AOB=90°，∴∠BAO=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=45°，∴ MNAB =sin45°= 22

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