题目

已知向量 ， ，设向量 ， ，且 ，其中 . （1） 求 关于 的函数关系式 ； （2） 设 的最小值为 .若正实数 ， 满足 ，求 的最小值. 答案： 因为 a→⊥b→ ，所以 a→⋅b→=0 即 [e→1+(x−3)e→2]⋅(−ye→1+xe→2)=0 ， 即 −ye→12+[x−y(x−3)]e→1⋅e→2+x(x−3)e→22=0 又因为 e→1=(3，1) ， e→2=(−12，32) ， 所以 e→1⋅e→2=0 ， e→12=(3)2+12=4 ， e→22=(−12)2+(32)2=1 所以 −4y+x(x−3)=0 ，整理得 y=14(x2−3x) ， 即 f(x)=14(x2−3x) . 由（1）知 y=f(x)=14(x2−3x)=14(x−32)2−916 ， 得函数 y=f(x) 的最小值为 −916 则 m+n=(−169)×(−916)=1 因为 m ， n 均为正实数 所以 1m+3n=(1m+3n)(m+n) =4+nm+3mn≥4+2nm⋅3mn=4+23 当且仅当 {m，n∈R+，m+n=1，nm=3mn， 即 m=3−12 ， n=3−32 时，等号成立

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