题目

已知函数 （1） 当 时，求 的极值； （2） 若 有两个不同的极值点 ，求 的取值范围; 答案： 解：当 a=0 时， f(x)=xex ， x2∈(1,+∞) ，令 f′(x)>0 ，可得 x>−1 ，故 (−1,+∞) 上单调递增，同理可得 f(x) 在 (−∞,−1) 上单调递减，  故 f(x) 在 x=−1 处有极小值 f(−1)=−1e 解：依题意可得， f′(x)=(x+1−2aex)ex=0 有两个不同的实根. 设 g(x)=x+1−2aex ，则 g(x)=0 有两个不同的实根 x1,x2 , g′(x)=1−2aex ， 若 a≤0 ，则 g′(x)≥1 ，此时 g(x) 为增函数，故 g(x)=0 至多有1个实根，不符合要求； 若 a>0 ，则当 x<ln12a 时， g′(x)>0 ，当 x>ln12a 时， g′(x)<0 ， 故此时 g(x) 在 (−∞,ln12a) 上单调递增，在 (ln12a,+∞) 上单调递减， g(x) 的最大值为 g(ln12a)=ln12a−1+1=ln12a , 又当 x→−∞ 时， g(x)→−∞ ，当 x→+∞ 时， g(x)→−∞ ，故要使 g(x)=0 有两个实根，则 g(ln12a)=ln12a>0 ，得 0<a<12 . （或作图象知要使 g(x)=0 有两个实根，则 g(ln12a)=ln12a>0 ） 设 g(x)=0 的两根为 x1,x2 (x1<x2) ，当 x<x1 时， g(x)<0 ，此时 f′(x)<0 ； 当 x1<x<x2 时， g(x)>0 ，此时 f′(x)>0 ；当 x>x2 时， g(x)<0 ，此时 f′(x)<0 . 故 x1 为 f(x) 的极小值点， x2 为 f(x) 的极大值点, 0<a<12 符合要求. 综上所述： a 的取值范围为 0<a<12 .（分离变量的方法也可以）

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