题目

如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点． ． （1） 求证：GE是⊙O的切线； （2） 求sin∠DCB值． 答案： 解：证明：连接OE，如图所示： ∵CD是⊙O的直径，∴∠CED=90°，∴∠AED=90°，∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，在Rt△AED中，∵G为AD中点，∴ GE=GD=12AD ，∴∠GED=∠GDE，∵CD是△ABC中AB边上的高，∴∠GDC=90°，∴∠OEG=∠DEO+∠GED=∠ODE+∠GDE=∠GDC=90°，∴GE是⊙O的切线； 解：连接OG，如图所示： 由（1）得：AD=2GE=4，∵∠ADC=∠AED=90°，∠EAD=∠DAC，∴△ADC∽△AED，∴ ADAC=AEAD ，∴AD2=AE•AC，即 42=AE(AE+95) ，解得： AE=165 或AE=﹣5（不合题意，舍去），∴ AC=165+95=5 ，由勾股定理得： DC=AC2−AD2=52−42=3 ，由勾股定理得： BC=BD2+CD2=22+32=13 ，∴ sin∠BCD=BDBC=23=21313 ．

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