题目

如图，三棱柱中，侧面是菱形， ， ． （1） 证明：； （2） 若 ， ， 求二面角的余弦值． 答案： 解：取BC中点O，连接AO，C1O，因为侧面BCC1B1是菱形，∠BCC1=60°，所以BC⊥C1O因为AC=AB，所以AO⊥BC，且C1O∩AO=O，所以BC⊥平面AOC1，又因为AC1⊂平面AOC1，所以AC1⊥BC． 解：AB1=10，则AB=BB1=2，由（1）得BC⊥平面AOC1，且AC1⊂平面AOC1，所以BC⊥AC1，即B1C1⊥AC1，所以AC1=AB12−BB12=10−4=6，因为AO2+C1O2=3+3=6=AC12，所以AO⊥OC1，即BC，OC1，OA两两垂直，以BC→，OC1→，OA→所在直线及其正方向建立如图空间直角坐标系，则A(0，0，3)，B(−1，0，0)，C1(0，3，0)，B1(−2，3，0)，A1(−1，3，3)，可取m→=(0，0，1)为平面BC1B1的一个法向量，设平面A1BC1的一个方向量为n→=(x，y，z)，A1B→=(0，−3，−3)，BC1→=(1，3，0)则{n⇀⋅A1B⇀=0n⇀⋅BC1⇀=0，即{3y+3z=0x+3y=0，取n→=(3，−1，1)，则cos〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=15=55，易知二面角A1−BC1−B1为锐角，所以二面角A1−BC1−B1的余弦值55．

查看本题答案和解析