题目

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 ，测得小区楼房 顶端点C处的俯角为 .已知操控者A和小区楼房 之间的距离为45米，小区楼房 的高度为 米. （1） 求此时无人机的高度； （2） 在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： ， .计算结果保留根号） 答案： 解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E， 可知四边形EHBC为矩形， ∴EH=CB，CE=HB， ∵无人机测得小区楼房 BC 顶端点C处的俯角为 45° ，测得操控者A的俯角为 75° ，DM∥AB， ∴∠ECD=45°，∠DAB=75°， ∴∠CDE=∠ECD=45°， ∴CE=DE， 设CE=DE=HB=x， ∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+ 153 ， 在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH= (2+3)(45−x) ， 即 x+153=(2+3)(45−x) ， 解得：x=30， ∴DH= 153+30 ∴此时无人机的高度为 (153+30) 米； 解：如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C， 过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG= 153+30 （米）， ∴ DG=AGtan75°=30+1532+3=15 ； ∵ tan∠CAB=BCAB=15345=33 ， ∴ ∠CAB=30° ∵DF∥AB， ∴∠DFA=∠CAB=30°， ∴ GF=GAtan30°=303+45 ， ∴ DF=GF−DG=303+30 ， 因为无人机速度为5米/秒， 所以所需时间为 303+305=63+6 （秒）； 所以经过 (63+6) 秒时，无人机刚好离开了操控者的视线.

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