题目

已知函数 （ 为常数）. （1） 若 在 处的切线与直线 垂直，求 的值； （2） 若 ，讨论函数 的单调性； （3） 若 为正整数，函数 恰好有两个零点，求 的值. 答案： 解：由题意 x>0 ， f′(x)=1x+2ax−(a+2)=(ax−1)(2x−1)x ，则 f′(1)=a−1 ， 由于函数 y=f(x) 的图象在 (1,f(1)) 处的切线与直线 x+3y=0 垂直， 则 f′(1)⋅(−13)=−1 ，所以 f′(1)=a−1=3 ，因此， a=4 解： ∵a>0 ，则 1a>0 . ①若 0<a<2 时， 1a>12 ， 当 0<x<12 或 x>1a 时， f′(x)>0 ， 12<x<1a 时， f′(x)<0 ， 所以 y=f(x) 在 (0,12) 和 (1a,+∞) 单调递增，在 (12,1a) 单调递减， ②若 a=2 时， 1a=12 ，对 x>0 ， f′(x)≥0 恒成立， y=f(x) 在 (0,+∞) 单调递增； ③若 a>2 时， 1a<12 ， 当 0<x<1a 或 x>12 时， f′(x)>0 ， 1a<x<12 时， f′(x)<0 ， 所以 y=f(x) 在 (0,1a) 和 (12,+∞) 单调递增，在 (1a,12) 单调递减 解：因为 a 为正整数， 若 0<a<2 ，则 a=1 ， f(x)=lnx+x2−3x+2 ， 由（2）知 y=f(x) 在 (0,12) 和 (1,+∞) 单调递增，在 (12,1) 单调递减， 又 f(1)=0 ，所以 y=f(x) 在区间 (12,+∞) 内仅有 1 实根， f(12)>f(1)>0 ， 又 f(e−2)=e−4−3e−2=e−2(e−2−3)<0 ，所以 y=f(x) 在区间 (0,12) 内仅有 1 实根. 此时， y=f(x) 在区间 (0,+∞) 内恰有 2 实根； 若 a=2 ， y=f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，至多有 1 实根. 若 a>2 ， f(1a)=ln(1a)+a(1a)2−(a+2)(1a)+2=ln1a−1a+1 ， 令 t=1a ，则 0<t<12 ， y=lnt−t+1 ， y′=1t−1>0 ， 所以 y<ln12−12+1=12−ln2<0 . 由（2）知 y=f(x) 在 (1a,12) 单调递减，在 (0,1a) 和 (12,+∞) 单调递增， 所以 f(12)<f(1a)<0 ，所以 y=f(x) 在 (0,+∞) 至多有 1 实根. 综上， a=1 .

查看本题答案和解析