题目

将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图所示的方式叠放在一起（其中 ， ， ），固定三角板 ，另一三角板 的 边从 边开始绕点 顺时针旋转，设旋转的角度为 ．     （1） 当 时； 若 ，则 的度数为； （2） 若 ，求 的度数； （3） 由（1）（2）猜想 与 的数量关系，并说明理由； （4） 当 时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出 所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】150° ∵∠ACB=130°，∠ACD=90°， ∴∠DCB=130°−90°=40°， ∴∠DCE=90°−40°=50°； ∠ACB+∠DCE=180°，理由如下： ①当 0°≤α<90° 时，如图1， ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB， ∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°； ②当 α=90° 时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立； ③当 90°<α<360° 时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°． 综上所述：∠ACB+∠DCE=180°； 存在，理由如下： ①若AD⊥CE时，如图4，则 α =90°-∠A=90°-60°=30°， ②若AC⊥CE时，如图5，则 α =∠ACE=90°， ③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°， ∵∠E=45°， ∴∠ECD=180°-45°-120°=15°， ∴ α =90°-15°=75°， ④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE， ∴ α =∠E=45°． 综上所述：当 α =30°时，AD⊥CE，当 α =90°时，AC⊥CE，当 α =75°时，AD⊥BE，当 α =45°时，CD⊥BE．  

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