题目

在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”． （1） 求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标 （2） 若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标； （3） 若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？ 答案： 解：∵x是整数，x≠0时，3x是一个无理数，∴x≠0时，3x+2不是整数，∴x=0，y=2，即函数y=3x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）． 解：①当k=1时，函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；②当k=﹣1时，函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③当k≠1时，函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；k=﹣1时，函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）． 解：令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴x1=k1-kx2=k-12-k∴k=x1x1+1=2x2+1x2+1，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵x1、x2都是整数，∴x2=1x1+2=-1或x2=-1x1+2=1∴x1=-3x2=1或x1=-1x2=-1①当x1=-3x2=1时，∵k-12-k=1，∴k=32；②当x1=-1x2=-1时，∵k1-k，∴k=k﹣1，无解；综上，可得k=32，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[(32)2﹣3×32+2]x2+[2×（32）2﹣4×32+1]x+（32）2﹣32=-14x2﹣12x+34①当x=﹣2时，y=-14x2﹣12x+34=-14×（﹣2）2-12×（﹣2）+34=34②当x=﹣1时，y=-14x2﹣12x+34=-14×（﹣1）2-12​×（﹣1）+34=1③当x=0时，y=34，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．综上，可得若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．

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