题目

如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝2，∠ACB＝90°，矩形BDEF的边BF＝1，BD＝2，矩形BDEF可以绕点B在平面内旋转，连接AE、BE、CD. （1）证明：△ABE∽△CBD；（2）当A、E、F三点共线时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，直接写出FM的最大值. 答案：解：在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝2，∠ACB＝90°， ∴AB=22+42=25 在Rt△BDE中，BF＝1，BD＝2， ∴BE=12+22=5 ∴tan∠EBD=EDBD=12，tan∠ABC=ACBC=24=12 ∴∠EBD=∠ABC ∴∠EBD−∠ABD=∠ABC−∠ABD ∴∠ABE=∠CBD ∵ABBC=254=52，BEBD=52 ∴ △ABE∽△CBD；当A、E、F三点共线时，分两种情况讨论： ① ∠AED=90° ，如图，在Rt△AFB中， AB2=BF2+AF2 ∴1+(2+AE)2=20 ∴(2+AE)2=19 ∴AE=19−2 ∵ △ABE∽△CBD ∴AECD=52 ∴CD=2AE5=219−45=295−455 ； ②如图， ∠AFB=90° 在Rt△AFB中， AF2=AB2−BF2=20−1=19 ∴AF=19 ∴AE=AF+EF=19+2 ∵∠EBD=∠ABC ∴∠EBF+∠ABC=90° ∴∠EBF+∠ABC+∠FBC=∠DBF++∠FBC ∵ABBC=254=52，BEBD=52 ∴ △ABE∽△CBD ∴AECD=52 ∴CD=2AE5=219+45=295+455 综上所述， CD=295−455 或 CD=295+455 如图，延长EF至点G，使得EF=FG，连接BG，此时△BEG是等腰三角形，当 G、B、A 三点共线，此时FM最大 ∵BD//GE ∴∠G=∠DBA ∴∠DBA+∠FBD+∠GBF=∠G+∠FBD+∠GBF=90°+90°=180° ，此时， G、B、A 三点共线， ∵F、M 分别是BE、AE的中点， ∴FM 是△EGA的中位线， ∴FM=12AG=12(AB+BG)=12(25+5)=352 .

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