题目

已知函数 满足 ． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设 ，且 ，求sin2α． 答案：解：（Ⅰ）∵函数 f(x)=sinx+acosx(a>0) ， ∴ f(x+π2)=sin(x+π2)+acos(x+π2)=cosx−asinx ， ∵ [f(x)]2+[f(x+π2)]2=4 ，∴ (sinx+acosx)2+(cosx−asinx)2=4 ， ∴ 1+a2=4 ， 又 a>0 故 a=3 ； （Ⅱ）由题意 f(α)⋅f(α+π2)=(sinα+3cosα)(cosα−3sinα) =−2sinαcosα−3sin2α+3cos2α=−sin2α+3cos2α =2cos(2α+π6)=23 ， ∴ cos(2α+π6)=13 ， ∵ 0<α<π2 ，∴ 2α+π6∈(π6,7π6) ， ∴ sin(2α+π6)=1−cos2(2α+π6)=223 ， 故 sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)cosπ6−cos(2α+π6)sinπ6 =223×32−13×12=26−16 .

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