题目

已知函数 ， ． （1） 求函数f（x）的值域； （2） 已知锐角△ABC的两边长a，b分别为函数f（x）的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为 ，求△ABC的面积． 答案： 解： f(x)=4sinx⋅(12cosx−32sinx)+3= 2sinxcosx−23sin2x+3= sin2x+3cos2x = 2sin(2x+π3) ，∵ 0≤x≤π6 ，∴ π3≤2x+π3≤2π3 ，∴ 32≤sin(2x+π3)≤1 ，∴函数f（x）的值域为 [3，2] ． 依题意 a=3 ，b=2，△ABC的外接圆半径 r=324 ， sinA=a2r=3322=63 ，sinB=b2r=2322=223 ， cosA=33 ， cosB=13 ，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=63 ，∴ S△ABC=12absinC=12×2×3×63=2 ．

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